حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{w \to - k} \frac{w^{2} + 12 k w + 11 k^{2}}{w^{2} + k w}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{w \to - k} w^{2} + 12 k w + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $w$ من $- k$ .

$\frac{lim_{w \to - k} w^{2} + lim_{w \to - k} 12 k w + lim_{w \to - k} 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الأُس $2$ من $w^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{w \to - k} w)}^{2} + lim_{w \to - k} 12 k w + lim_{w \to - k} 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $12 k$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $w$ .

$\frac{{(lim_{w \to - k} w)}^{2} + 12 k lim_{w \to - k} w + lim_{w \to - k} 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة حد $11 k^{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $w$ من $- k$ .

$\frac{{(lim_{w \to - k} w)}^{2} + 12 k lim_{w \to - k} w + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $w$ بـ $- k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $w$ بالتعويض عن $w$ بـ $- k$ .

$\frac{{(- k)}^{2} + 12 k lim_{w \to - k} w + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $w$ بالتعويض عن $w$ بـ $- k$ .

$\frac{{(- k)}^{2} + 12 k (- k) + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- k$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} k^{2} + 12 k (- k) + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.6.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 k^{2} + 12 k (- k) + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.6.1.3

اضرب $k^{2}$ في $1$ .

$\frac{k^{2} + 12 k (- k) + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.6.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{k^{2} + 12 \cdot - 1 k \cdot k + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.6.1.5

اضرب $k$ في $k$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1.5.1

انقُل $k$ .

$\frac{k^{2} + 12 \cdot - 1 (k \cdot k) + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.6.1.5.2

اضرب $k$ في $k$ .

$\frac{k^{2} + 12 \cdot - 1 k^{2} + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.6.1.6

اضرب $12$ في $- 1$ .

$\frac{k^{2} - 12 k^{2} + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.6.2

اطرح $12 k^{2}$ من $k^{2}$ .

$\frac{- 11 k^{2} + 11 k^{2}}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.2.6.3

أضف $- 11 k^{2}$ و $11 k^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{w \to - k} w^{2} + k w}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $w$ من $- k$ .

$\frac{0}{lim_{w \to - k} w^{2} + lim_{w \to - k} k w}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $2$ من $w^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{w \to - k} w)}^{2} + lim_{w \to - k} k w}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الحد $k$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $w$ .

$\frac{0}{{(lim_{w \to - k} w)}^{2} + k lim_{w \to - k} w}$

خطوة 1.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $w$ بـ $- k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $w$ بالتعويض عن $w$ بـ $- k$ .

$\frac{0}{{(- k)}^{2} + k lim_{w \to - k} w}$

خطوة 1.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $w$ بالتعويض عن $w$ بـ $- k$ .

$\frac{0}{{(- k)}^{2} + k (- k)}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- k$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} k^{2} + k (- k)}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{0}{1 k^{2} + k (- k)}$

خطوة 1.1.3.5.1.3

اضرب $k^{2}$ في $1$ .

$\frac{0}{k^{2} + k (- k)}$

خطوة 1.1.3.5.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{0}{k^{2} - k \cdot k}$

خطوة 1.1.3.5.1.5

اضرب $k$ في $k$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.5.1

انقُل $k$ .

$\frac{0}{k^{2} - (k \cdot k)}$

خطوة 1.1.3.5.1.5.2

اضرب $k$ في $k$ .

$\frac{0}{k^{2} - k^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2

اطرح $k^{2}$ من $k^{2}$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{w \to - k} \frac{w^{2} + 12 k w + 11 k^{2}}{w^{2} + k w} = lim_{w \to - k} \frac{\frac{d}{d w} [w^{2} + 12 k w + 11 k^{2}]}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{w \to - k} \frac{\frac{d}{d w} [w^{2} + 12 k w + 11 k^{2}]}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $w^{2} + 12 k w + 11 k^{2}$ بالنسبة إلى $w$ هو $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [12 k w] + \frac{d}{d w} [11 k^{2}]$ .

$lim_{w \to - k} \frac{\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [12 k w] + \frac{d}{d w} [11 k^{2}]}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ هو $n w^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{w \to - k} \frac{2 w + \frac{d}{d w} [12 k w] + \frac{d}{d w} [11 k^{2}]}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d w} [12 k w]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $12 k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $w$ ، إذن مشتق $12 k w$ بالنسبة إلى $w$ يساوي $12 k \frac{d}{d w} [w]$ .

$lim_{w \to - k} \frac{2 w + 12 k \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [11 k^{2}]}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ هو $n w^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{w \to - k} \frac{2 w + 12 k \cdot 1 + \frac{d}{d w} [11 k^{2}]}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $12$ في $1$ .

$lim_{w \to - k} \frac{2 w + 12 k + \frac{d}{d w} [11 k^{2}]}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3.5

بما أن $11 k^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $w$ ، فإن مشتق $11 k^{2}$ بالنسبة إلى $w$ هو $0$ .

$lim_{w \to - k} \frac{2 w + 12 k + 0}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $2 w + 12 k$ و $0$ .

$lim_{w \to - k} \frac{2 w + 12 k}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{w \to - k} \frac{12 k + 2 w}{\frac{d}{d w} [w^{2} + k w]}$

خطوة 1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $w^{2} + k w$ بالنسبة إلى $w$ هو $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [k w]$ .

$lim_{w \to - k} \frac{12 k + 2 w}{\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [k w]}$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ هو $n w^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{w \to - k} \frac{12 k + 2 w}{2 w + \frac{d}{d w} [k w]}$

خطوة 1.3.9

احسِب قيمة $\frac{d}{d w} [k w]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $w$ ، إذن مشتق $k w$ بالنسبة إلى $w$ يساوي $k \frac{d}{d w} [w]$ .

$lim_{w \to - k} \frac{12 k + 2 w}{2 w + k \frac{d}{d w} [w]}$

خطوة 1.3.9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ هو $n w^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{w \to - k} \frac{12 k + 2 w}{2 w + k \cdot 1}$

خطوة 1.3.9.3

اضرب $k$ في $1$ .

$lim_{w \to - k} \frac{12 k + 2 w}{2 w + k}$

خطوة 1.3.10

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{w \to - k} \frac{12 k + 2 w}{k + 2 w}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $w$ من $- k$ .

$\frac{lim_{w \to - k} 12 k + 2 w}{lim_{w \to - k} k + 2 w}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $w$ من $- k$ .

$\frac{lim_{w \to - k} 12 k + lim_{w \to - k} 2 w}{lim_{w \to - k} k + 2 w}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة حد $12 k$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $w$ من $- k$ .

$\frac{12 k + lim_{w \to - k} 2 w}{lim_{w \to - k} k + 2 w}$

خطوة 2.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $w$ .

$\frac{12 k + 2 lim_{w \to - k} w}{lim_{w \to - k} k + 2 w}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $w$ من $- k$ .

$\frac{12 k + 2 lim_{w \to - k} w}{lim_{w \to - k} k + lim_{w \to - k} 2 w}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة حد $k$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $w$ من $- k$ .

$\frac{12 k + 2 lim_{w \to - k} w}{k + lim_{w \to - k} 2 w}$

خطوة 2.7

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $w$ .

$\frac{12 k + 2 lim_{w \to - k} w}{k + 2 lim_{w \to - k} w}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $w$ بـ $- k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $w$ بالتعويض عن $w$ بـ $- k$ .

$\frac{12 k + 2 (- k)}{k + 2 lim_{w \to - k} w}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $w$ بالتعويض عن $w$ بـ $- k$ .

$\frac{12 k + 2 (- k)}{k + 2 (- k)}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $2 k$ من $12 k + 2 (- k)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

أخرِج العامل $2 k$ من $12 k$ .

$\frac{2 k (6) + 2 (- k)}{k + 2 (- k)}$

خطوة 4.1.1.2

أخرِج العامل $2 k$ من $2 (- k)$ .

$\frac{2 k (6) + 2 k (- 1)}{k + 2 (- k)}$

خطوة 4.1.1.3

أخرِج العامل $2 k$ من $2 k (6) + 2 k (- 1)$ .

$\frac{2 k (6 - 1)}{k + 2 (- k)}$

خطوة 4.1.2

اطرح $1$ من $6$ .

$\frac{2 k \cdot 5}{k + 2 (- k)}$

خطوة 4.1.3

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{10 k}{k + 2 (- k)}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $k$ من $k + 2 (- k)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$\frac{10 k}{k^{1} + 2 (- k)}$

خطوة 4.2.1.2

أخرِج العامل $k$ من $k^{1}$ .

$\frac{10 k}{k \cdot 1 + 2 (- k)}$

خطوة 4.2.1.3

أخرِج العامل $k$ من $2 (- k)$ .

$\frac{10 k}{k \cdot 1 + k (2 \cdot (- 1))}$

خطوة 4.2.1.4

أخرِج العامل $k$ من $k \cdot 1 + k (2 \cdot (- 1))$ .

$\frac{10 k}{k (1 + 2 \cdot (- 1))}$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{10 k}{k (1 - 2)}$

خطوة 4.2.3

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{10 k}{k \cdot - 1}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 k}{k \cdot - 1}$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10}{- 1}$

خطوة 4.3.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{10}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 10$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 10$