حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cot (2 x)}{\csc (x)}$

خطوة 1

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (x)}$

خطوة 2

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\cot (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

خطوة 2.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (x)$

خطوة 2.4

اكتب $\sin (x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (x)$

خطوة 2.5.2

حوّل من $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ إلى $\cot (2 x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (x)$

خطوة 3

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (x)$

خطوة 4

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\cot (2 x) \sin (x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (x) \\ - 0.1 & 0.4924937 \\ - 0.01 & 0.49992499 \\ - 0.001 & 0.49999925 \end{array}$

خطوة 5

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0.5$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\cot (2 x) \sin (x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار تساوي $0.5$ .

$0.5$

خطوة 6

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (x)$

خطوة 7

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\cot (2 x) \sin (x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (x) \\ 0.1 & 0.4924937 \\ 0.01 & 0.49992499 \\ 0.001 & 0.49999925 \end{array}$

خطوة 8

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0.5$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\cot (2 x) \sin (x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين تساوي $0.5$ .

$3 \cdot 0.5$

خطوة 9

اضرب $3$ في $0.5$ .

$1.5$