حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (m x)}{1 - \cos (n x)}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (m x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (m x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.2.1.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (m x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.2.1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} m x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.2.1.4

انقُل الحد $m$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1 - \cos (m lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1 - \cos (m \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

اضرب $m$ في $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

خطوة 1.1.3.1.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

خطوة 1.1.3.1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} n x)}$

خطوة 1.1.3.1.4

انقُل الحد $n$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (n lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (n \cdot 0)}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

اضرب $n$ في $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

خطوة 1.1.3.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (m x)}{1 - \cos (n x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (m x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (m x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (m x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (m x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = m x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $m x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [m x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.4.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [m x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $m x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.4.3

بما أن $m$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $m x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (m x) (m \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.4.5

اضرب $m$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (m x) m)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.4.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 (\sin (m x) m)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.4.7

اضرب $\sin (m x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (m x) m}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $0$ و $\sin (m x) m$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (m x) m}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.5.2

أعِد ترتيب عوامل $\sin (m x) m$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (n x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (n x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (n x)]}$

خطوة 1.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (n x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (n x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (n x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (n x)]}$

خطوة 1.3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = n x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $n x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [n x])}$

خطوة 1.3.8.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [n x])}$

خطوة 1.3.8.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $n x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (n x) \frac{d}{d x} [n x])}$

خطوة 1.3.8.3

بما أن $n$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $n x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (n x) (n \frac{d}{d x} [x]))}$

خطوة 1.3.8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (n x) (n \cdot 1))}$

خطوة 1.3.8.5

اضرب $n$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (n x) n)}$

خطوة 1.3.8.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 + 1 (\sin (n x) n)}$

خطوة 1.3.8.7

اضرب $\sin (n x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 + \sin (n x) n}$

خطوة 1.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

أضف $0$ و $\sin (n x) n$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{\sin (n x) n}$

خطوة 1.3.9.2

أعِد ترتيب عوامل $\sin (n x) n$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{n \sin (n x)}$

خطوة 2

انقُل الحد $\frac{m}{n}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (m x)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} m x)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

خطوة 3.1.2.1.2

انقُل الحد $m$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{\sin (m lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{\sin (m \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

خطوة 3.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اضرب $m$ في $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

خطوة 3.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} n x)}$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل الحد $n$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{\sin (n lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{\sin (n \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1

اضرب $n$ في $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

خطوة 3.1.3.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (m x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (m x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = m x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $m x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [m x]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [m x]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $m x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x) \frac{d}{d x} [m x]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

خطوة 3.3.3

بما أن $m$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $m x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x) m \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x) m \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

خطوة 3.3.5

اضرب $m$ في $1$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x) m}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

خطوة 3.3.6

أعِد ترتيب عوامل $\cos (m x) m$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = n x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $n x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [n x]}$

خطوة 3.3.7.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [n x]}$

خطوة 3.3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $n x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (n x) \frac{d}{d x} [n x]}$

خطوة 3.3.8

بما أن $n$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $n x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (n x) n \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (n x) n \cdot 1}$

خطوة 3.3.10

اضرب $n$ في $1$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (n x) n}$

خطوة 3.3.11

أعِد ترتيب عوامل $\cos (n x) n$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{n \cos (n x)}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $\frac{m}{n}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x)}{\cos (n x)}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{lim_{x \to 0} \cos (m x)}{lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

خطوة 4.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (lim_{x \to 0} m x)}{lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

خطوة 4.4

انقُل الحد $m$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

خطوة 4.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} n x)}$

خطوة 4.6

انقُل الحد $n$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m lim_{x \to 0} x)}{\cos (n lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب $\frac{m}{n}$ في $\frac{m}{n}$ .

$\frac{m \cdot m}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.1.2

ارفع $m$ إلى القوة $1$ .

$\frac{m^{1} m}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.1.3

ارفع $m$ إلى القوة $1$ .

$\frac{m^{1} m^{1}}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{m^{1 + 1}}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{m^{2}}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.1.6

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{1} n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.1.7

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{1} n^{1}} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.1.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{m^{2}}{n^{1 + 1}} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.1.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.2

اجمع.

$\frac{m^{2} \cos (m \cdot 0)}{n^{2} \cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.3

افصِل الكسور.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $\frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (m \cdot 0) \frac{1}{\cos (n \cdot 0)})$

خطوة 6.5

اكتب $\cos (m \cdot 0)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\frac{\cos (m \cdot 0)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (n \cdot 0)})$

خطوة 6.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اقسِم $\cos (m \cdot 0)$ على $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (m \cdot 0) \frac{1}{\cos (n \cdot 0)})$

خطوة 6.6.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (n \cdot 0)}$ إلى $\sec (n \cdot 0)$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (m \cdot 0) \sec (n \cdot 0))$

خطوة 6.7

اضرب $m$ في $0$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (0) \sec (n \cdot 0))$

خطوة 6.8

اضرب $n$ في $0$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (0) \sec (0))$

خطوة 6.9

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

أعِد ترتيب $\cos (0)$ و $\sec (0)$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\sec (0) \cos (0))$

خطوة 6.9.2

أعِد كتابة $\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (0) \sec (0))$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\frac{1}{\cos (0)} \cos (0))$

خطوة 6.9.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} \cdot 1$

خطوة 6.10

اضرب $\frac{m^{2}}{n^{2}}$ في $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}}$