حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

خطوة 1.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

انقُل الأُس $2$ من $\sin^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{\sin^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

خطوة 1.3.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 1.3.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

خطوة 1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \cos (x) \sin (x)}$

خطوة 1.3.5.2

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

خطوة 1.3.5.3

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

خطوة 1.3.5.4

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\sin (2 x)}$

خطوة 2

بما أن الدالة تقترب بمقدار $- \infty$ من جهة اليسار وبمقدار $\infty$ من جهة اليمين، إذن لا توجد نهاية.

$لا يوجد$