حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 4)}^{2}}{{(5 x - 7)}^{2}}$

خطوة 1

اقسِم البسط والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{{(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 2.2

انقُل الأُس $2$ من ${(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 2.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 2.7

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الأُس $2$ من ${(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 4.3

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 4.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

خطوة 4.6

انقُل الحد $- 7$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}$

خطوة 5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{{(2 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

خطوة 6.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

خطوة 6.1.3

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{2^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

خطوة 6.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{4}{{(5 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

اضرب $- 7$ في $0$ .

$\frac{4}{{(5 + 0)}^{2}}$

خطوة 6.2.3

أضف $5$ و $0$ .

$\frac{4}{5^{2}}$

خطوة 6.2.4

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4}{25}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{4}{25}$

الصيغة العشرية:

$0.16$