حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- 3$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

خطوة 2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

خطوة 2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

خطوة 2.3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ ومجموعهما $b = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أخرِج العامل $7$ من $7 y$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة $7$ في صورة $1$ زائد $6$

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

خطوة 2.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

خطوة 2.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

خطوة 2.3.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 y + 1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

خطوة 2.4

اختزِل العبارة $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

خطوة 2.6

اضرب $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ في $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

خطوة 2.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ في $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

خطوة 2.7.2

ارفع $\sqrt{2 y + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

خطوة 2.7.3

ارفع $\sqrt{2 y + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

خطوة 2.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

خطوة 2.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ بالصيغة $2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 y + 1}$ في صورة ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

خطوة 2.7.6.5

بسّط.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

خطوة 2.8

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$