حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (2 (4) - 10^{4})}{h}$

خطوة 1

اضرب $2$ في $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{h}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة حد $2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{2 (4 + 0) - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{2 \cdot 4 - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{8 - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2.3

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{8 - 10^{4} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2.4

ارفع $10$ إلى القوة $4$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 10000 - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2.5

اضرب $- 1$ في $10000$ .

$\frac{8 - 10000 - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.6.1

ارفع $10$ إلى القوة $4$ .

$\frac{8 - 10000 - (8 - 1 \cdot 10000)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2.6.2

اضرب $- 1$ في $10000$ .

$\frac{8 - 10000 - (8 - 10000)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2.7

اطرح $10000$ من $8$ .

$\frac{8 - 10000 - - 9992}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2.8

اضرب $- 1$ في $- 9992$ .

$\frac{8 - 10000 + 9992}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3

اطرح $10000$ من $8$ .

$\frac{- 9992 + 9992}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.4

أضف $- 9992$ و $9992$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ارفع $10$ إلى القوة $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 1 \cdot 10000)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $- 1$ في $10000$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10000)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.3

اطرح $10000$ من $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 (4 + h) - 10^{4 + h} - - 9992$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [2 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [2 (4 + h)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $2 (4 + h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $2 \frac{d}{d h} [4 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [4 + h] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.5.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.5.5

أضف $0$ و $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.5.6

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $- 10^{4 + h}$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $- \frac{d}{d h} [10^{4 + h}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - \frac{d}{d h} [10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = 10^{h}$ و $g (h) = 4 + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $10$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{u} \ln (10) \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.6

أضف $0$ و $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.7

اضرب $10^{4 + h}$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [- - 9992]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اضرب $- 1$ في $- 9992$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + \frac{d}{d h} [9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.7.2

بما أن $9992$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $9992$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

أضف $2 - 10^{4 + h} \ln (10)$ و $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{h \to 0} \frac{- 10^{4 + h} \ln (10) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10^{4 + h} \ln (10) + 2}{1}$

خطوة 2.4

اقسِم $- 10^{4 + h} \ln (10) + 2$ على $1$ .

$lim_{h \to 0} - 10^{4 + h} \ln (10) + 2$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- lim_{h \to 0} 10^{4 + h} \ln (10) + lim_{h \to 0} 2$

خطوة 3.2

انقُل الحد $\ln (10)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- \ln (10) lim_{h \to 0} 10^{4 + h} + lim_{h \to 0} 2$

خطوة 3.3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$- \ln (10) \cdot 10^{lim_{h \to 0} 4 + h} + lim_{h \to 0} 2$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{lim_{h \to 0} 4 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} 2$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} 2$

خطوة 3.6

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + lim_{h \to 0} h} + 2$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + 0} + 2$

خطوة 5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $4$ و $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4} + 2$

خطوة 5.2

ارفع $10$ إلى القوة $4$ .

$- \ln (10) \cdot 10000 + 2$

خطوة 5.3

اضرب $10000$ في $- 1$ .

$- 10000 \ln (10) + 2$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 10000 \ln (10) + 2$

الصيغة العشرية:

$- 23023.85092994 \dots$