حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{n \to 1000000} {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$ بالصيغة $e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$ .

$lim_{n \to 1000000} e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})$ بنقل $\frac{1}{2 n + 1}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{n \to 1000000} e^{\frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $1000000$ .

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $1000000$ .

$e^{\frac{lim_{n \to 1000000} 1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $1000000$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $1000000$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $n$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

خطوة 2.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

خطوة 2.8

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + n)}$

خطوة 2.9

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

خطوة 2.10

انقُل الأُس $2$ من $n^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $n$ بـ $1000000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $2$ في $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

خطوة 4.1.2

أضف $2000000$ و $1$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

خطوة 4.2

ارفع $1000000$ إلى القوة $2$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000000000 + 1000000)}$

خطوة 4.3

أضف $1000000000000$ و $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000001000000)}$

خطوة 4.4

اجمع $\frac{1}{2000001}$ و $\ln (1000001000000)$ .

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

الصيغة العشرية:

$1.00001381 \dots$