حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(k + 1)}^{k + 1}$ و $k + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $k + 1$ من ${(k + 1)}^{k + 1}$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أخرِج العامل $k + 1$ من $(k + 1) i$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $k$ من $8$ .

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 1.3

انقُل الحد $\frac{1}{i}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $k$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(k + 1)}^{k}$ بالصيغة $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 2.2

وسّع $\ln ({(k + 1)}^{k})$ بنقل $k$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $k$ من $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 3.3

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $k$ من $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $k$ من $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

خطوة 3.6

انقُل الحد $i$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $k$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

خطوة 3.7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $k$ من $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

خطوة 4

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $k^{k}$ بالصيغة $e^{\ln (k^{k})}$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

خطوة 4.2

وسّع $\ln (k^{k})$ بنقل $k$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

خطوة 5.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $k$ من $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

خطوة 5.3

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

خطوة 6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $k$ بـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة حد $k$ بالتعويض عن $k$ بـ $8$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة حد $k$ بالتعويض عن $k$ بـ $8$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

خطوة 6.3

احسِب قيمة حد $k$ بالتعويض عن $k$ بـ $8$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

خطوة 6.4

احسِب قيمة حد $k$ بالتعويض عن $k$ بـ $8$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

خطوة 6.5

احسِب قيمة حد $k$ بالتعويض عن $k$ بـ $8$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{8 \cdot \ln (8)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $e^{8 \cdot \ln (8)}$ من $\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i$ .

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

خطوة 7.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i \cdot 8$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{i}$ و $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i} \cdot i \cdot 8$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i}$ و $i$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i} \cdot 8$

خطوة 7.4

اجمع $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i}$ و $8$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

خطوة 7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

خطوة 7.5.2

اقسِم $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$ على $1$ .

$e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$

خطوة 7.6

أضف $8$ و $1$ .

$e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)} \cdot 8$

خطوة 7.7

انقُل $8$ إلى يسار $e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$ .

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

الصيغة العشرية:

$20.52627611 \dots$