حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

خطوة 1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

خطوة 2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

خطوة 3

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

خطوة 4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

خطوة 6

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

خطوة 7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

خطوة 8

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

خطوة 9

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

خطوة 10

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

خطوة 11

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

خطوة 12

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

خطوة 13

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

خطوة 14

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $n$ بـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

خطوة 14.2

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

خطوة 14.3

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

خطوة 14.4

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

خطوة 15

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

أضف $8$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

خطوة 15.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

خطوة 15.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{3 - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

خطوة 15.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{3 - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

خطوة 15.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

خطوة 15.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{3 - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

خطوة 15.1.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

خطوة 15.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

أضف $8$ و $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{8 + 1}}$

خطوة 15.2.2

أضف $8$ و $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{9}}$

خطوة 15.2.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{3^{2}}}$

خطوة 15.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 1 \cdot 3}$

خطوة 15.2.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$

خطوة 15.3

اضرب $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ في $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$

خطوة 15.4

اضرب $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ في $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3) (\sqrt{10} + 3)}$

خطوة 15.5

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{10} \cdot 3 - 3 \sqrt{10} - 9}$

خطوة 15.6

بسّط.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{1}$

خطوة 15.7

اقسِم $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ على $1$ .

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$

خطوة 15.8

وسّع $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (\sqrt{10} + 3) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

خطوة 15.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

خطوة 15.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

خطوة 15.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.9.1

اضرب $3$ في $3$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

خطوة 15.9.2

اضرب $- 2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.9.2.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

خطوة 15.9.2.2

اضرب $10$ في $2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

خطوة 15.9.3

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.9.3.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

خطوة 15.9.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

خطوة 15.9.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

خطوة 15.9.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

خطوة 15.9.6

اضرب $3$ في $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

خطوة 16

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

الصيغة العشرية:

$1.05727969 \dots$