حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{n \to 8} {(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1}$ بالصيغة $e^{\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})$ بنقل $2 n^{2} + 1$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{n \to 8} e^{(2 n^{2} + 1) \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{n \to 8} (2 n^{2} + 1) \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$e^{(lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

خطوة 2.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $n$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

خطوة 2.5

انقُل الأُس $2$ من $n^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

خطوة 2.7

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

خطوة 2.8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

خطوة 2.9

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

خطوة 2.10

انقُل الأُس $2$ من $n^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

خطوة 2.11

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

خطوة 2.12

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 3})}$

خطوة 2.13

انقُل الأُس $2$ من $n^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 3})}$

خطوة 2.14

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $n$ بـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$e^{(2 \cdot 64 + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

خطوة 4.1.2

اضرب $2$ في $64$ .

$e^{(128 + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

خطوة 4.2

أضف $128$ و $1$ .

$e^{129 \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

خطوة 4.3

بسّط $129 \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})$ بنقل $129$ داخل اللوغاريتم.

$e^{\ln ({(\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129})}$

خطوة 4.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

${(\frac{64 + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

خطوة 4.5.2

أضف $64$ و $2$ .

${(\frac{66}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

خطوة 4.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

${(\frac{66}{64 - 1 \cdot 3})}^{129}$

خطوة 4.6.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

${(\frac{66}{64 - 3})}^{129}$

خطوة 4.6.3

اطرح $3$ من $64$ .

${(\frac{66}{61})}^{129}$

خطوة 4.7

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{66}{61}$ .

$\frac{66^{129}}{61^{129}}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{66^{129}}{61^{129}}$

الصيغة العشرية:

$25919.04337747 \dots$