حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

خطوة 1

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$6 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

خطوة 2.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$6 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

خطوة 2.1.3

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$6 \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$6 \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 + 3 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 + 3 e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

خطوة 2.3.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + 3 e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + 3 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

خطوة 2.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

خطوة 2.3.6

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

خطوة 2.3.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \cdot 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 2.3.8

اجمع $3$ و $\frac{1}{2 + 3 e^{x}}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 2.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} e^{x}}$

خطوة 2.3.10

اجمع $\frac{3}{2 + 3 e^{x}}$ و $e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{2 + 3 e^{x}}}$

خطوة 2.3.11

أعِد ترتيب الحدود.

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{3 e^{x} + 2}}$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$6 lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

خطوة 2.5

اضرب $\frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$ في $1$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

خطوة 3

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 4.1.2.2

بما أن الدالة $e^{x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $3$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $3$ المحذوف.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 4.1.2.2.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 4.1.2.3

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 4.1.2.4

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 4.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 e^{x} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 4.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 4.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 4.3.5

أضف $3 e^{x}$ و $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 4.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

خطوة 4.4.2

اقسِم $3$ على $1$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} 3$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \cdot 3$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} \cdot 3$

خطوة 5.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 3$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$6$