حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

خطوة 1.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

خطوة 1.1.3

عند اقتراب $n$ من $\infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ هو $n \cdot n^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

خطوة 1.3.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{n}$ في صورة $n^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ هو $n \cdot n^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

خطوة 1.3.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

خطوة 1.3.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 1.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 1.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

خطوة 1.3.8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

خطوة 1.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 1.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 1.3.10.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.5

أعِد كتابة $n^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{n}$ .

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

خطوة 1.6

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

خطوة 2

بما أن الدالة $\sqrt{n}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $2$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $2$ المحذوف.

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

خطوة 2.2

عند اقتراب $n$ من $\infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\infty$