حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{lim_{x \to 8} 16 x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل الحد $16$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{16 lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 1.2

انقُل الأُس $\frac{2}{3}$ من $x^{\frac{2}{3}}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $8$ .

$\frac{16 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $2^{4}$ .

$\frac{2^{4} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.1.3

اضرب الأُسس في ${(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2^{4 + 2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.1.5

أضف $4$ و $2$ .

$\frac{2^{6}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2^{6}}{2^{2} - x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $x^{\frac{4}{3}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$\frac{2^{6}}{2^{2} - {(x^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

خطوة 3.2.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2$ و $b = x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2^{6}}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 3.3

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$\frac{64}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$