حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.4

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $2$ .

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب $2$ في $2^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

اضرب $2$ في $2^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{2^{1} \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{2^{1 + 3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.1.1.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{\sqrt{2^{4} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.1.3

أضف $16$ و $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.3.2

ارفع $\sqrt{x^{2} + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 3.3.3

ارفع $\sqrt{x^{2} + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

خطوة 3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

خطوة 3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ بالصيغة $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 1}$ في صورة ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

خطوة 3.3.6.5

بسّط.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

خطوة 3.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{2 \sqrt{(x^{2} + 1) \cdot 5}}{x^{2} + 1}$

خطوة 3.5

انقُل $5$ إلى يسار $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \sqrt{5 (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1}$