حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{1 + x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} 1 + x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

خطوة 1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 1} x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

خطوة 1.4

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\sqrt[3]{1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

خطوة 2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 1^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

خطوة 3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\sqrt[3]{1 + 1}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

خطوة 3.1.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

خطوة 3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}$

خطوة 3.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}$

خطوة 3.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}$

خطوة 3.2.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

خطوة 3.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

خطوة 3.4.2

ارفع $\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{1} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

خطوة 3.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.4.4

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{3}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{3}$ بالصيغة $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$ في صورة ${((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{({((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{1}}$

خطوة 3.4.5.5

بسّط.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 3.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 3.6

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt[3]{2 {(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$