حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} x \tan (\frac{1}{x})$

خطوة 1

أعِد كتابة $x \tan (\frac{1}{x})$ بالصيغة $\frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \tan (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{\tan (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.2.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5.2

اجمع $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1

أعِد كتابة $\sec (\frac{1}{x})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{{(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5.5

اجمع.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5.6

اضرب $1$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.5.7

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.6

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- x^{- 2}}$

خطوة 2.3.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} (- x^{2})$

خطوة 2.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

خطوة 2.5.2

اضرب $\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

خطوة 2.5.3

اجمع $\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ و $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

خطوة 2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

خطوة 2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

خطوة 2.8

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$

خطوة 2.9

حوّل من $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ إلى $\sec (\frac{1}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \sec^{2} (\frac{1}{x})$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

${(lim_{x \to \infty} \sec (\frac{1}{x}))}^{2}$

خطوة 3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\sec^{2} (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

خطوة 4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\sec^{2} (0)$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$1^{2}$

خطوة 5.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1$