حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{2 \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{\cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x + 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.6

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.7.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.8.1.1

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.8.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.8.1.3

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.8.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.8.1.5

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.8.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.3.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.3.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

خطوة 2.1.3.5

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2.1.3.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2.1.3.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 2.1.3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.7.1

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 2.1.3.7.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 2.1.3.7.3

اضرب $\sin (3 \cdot 0)$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 2.1.3.7.4

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

خطوة 2.1.3.7.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.7.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.8

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{\cos (3 x) \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 3 x \cos (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x \cos (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.3.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.7

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.8

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4.9

اضرب $\cos (3 x)$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $- 3$ في $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 - 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (3 x)$ و $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.7.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.8

ارفع $\cos (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.9

ارفع $\cos (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.11

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.12

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.14

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.15

انقُل $3$ إلى يسار $\cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cdot \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

خطوة 2.3.16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 2.3.16.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 2.3.16.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 2.3.17

ارفع $\sin (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{1} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 2.3.18

ارفع $\sin (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 2.3.19

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 2.3.20

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 2.3.21

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.22

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.23

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x) \cdot 1}$

خطوة 2.3.24

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)$ و $3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 9 x \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot - 3 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot - 3 x \sin (3 x) + 3 (1) + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- 3 x \sin (3 x)) + 3 (1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 2.4.4

أخرِج العامل $3$ من $3 \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 (\cos (3 x))}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 2.4.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 (\cos (3 x))$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 2.4.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x)) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 2.4.6.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 \sin^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 \cdot - 1 \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 2.4.6.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (- \sin^{2} (3 x))$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x))}$

خطوة 2.4.6.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x))}$

خطوة 2.4.6.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.6

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.8

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.9

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.10

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.11

انقُل الأُس $2$ من $\cos^{2} (3 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (3 x))}^{2} - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.12

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.13

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

خطوة 3.14

انقُل الأُس $2$ من $\sin^{2} (3 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (3 x))}^{2}}$

خطوة 3.15

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

خطوة 3.16

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 4.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 4.5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $- 3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.1.4

اضرب $0$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.1.5

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + \cos (0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + 1}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.1.7

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 1}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.1.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1^{2} - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

خطوة 5.2.4

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - \sin^{2} (0)}$

خطوة 5.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - 0^{2}}$

خطوة 5.2.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - 0}$

خطوة 5.2.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 + 0}$

خطوة 5.2.8

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

خطوة 5.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

خطوة 5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$