حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{y \to \frac{3}{2}} \sqrt{\frac{8 y^{3} - 27}{4 y^{2} - 9}}$

خطوة 1

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 y^{3} - 27}{4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\sqrt{\frac{lim_{y \to \frac{3}{2}} 8 y^{3} - 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $y$ من $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{lim_{y \to \frac{3}{2}} 8 y^{3} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.1.2

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $y$ .

$\sqrt{\frac{8 lim_{y \to \frac{3}{2}} y^{3} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.1.3

انقُل الأُس $3$ من $y^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\sqrt{\frac{8 {(lim_{y \to \frac{3}{2}} y)}^{3} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.1.4

احسِب قيمة حد $27$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $y$ من $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{8 {(lim_{y \to \frac{3}{2}} y)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة حد $y$ بالتعويض عن $y$ بـ $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{8 {(\frac{3}{2})}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{8 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.3.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\sqrt{\frac{8 \frac{27}{2^{3}} - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.3.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\sqrt{\frac{8 (\frac{27}{8}) - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{\frac{8 (\frac{27}{8}) - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.3.1.5

اضرب $- 1$ في $27$ .

$\sqrt{\frac{27 - 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.2.3.2

اطرح $27$ من $27$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $y$ من $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 9}}$

خطوة 2.1.3.1.2

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 lim_{y \to \frac{3}{2}} y^{2} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 9}}$

خطوة 2.1.3.1.3

انقُل الأُس $2$ من $y^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\sqrt{\frac{0}{4 {(lim_{y \to \frac{3}{2}} y)}^{2} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 9}}$

خطوة 2.1.3.1.4

احسِب قيمة حد $9$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $y$ من $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 {(lim_{y \to \frac{3}{2}} y)}^{2} - 1 \cdot 9}}$

خطوة 2.1.3.2

احسِب قيمة حد $y$ بالتعويض عن $y$ بـ $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 1 \cdot 9}}$

خطوة 2.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 9}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 \frac{9}{2^{2}} - 1 \cdot 9}}$

خطوة 2.1.3.3.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 (\frac{9}{4}) - 1 \cdot 9}}$

خطوة 2.1.3.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{\frac{0}{4 (\frac{9}{4}) - 1 \cdot 9}}$

خطوة 2.1.3.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}}$

خطوة 2.1.3.3.1.5

اضرب $- 1$ في $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{9 - 9}}$

خطوة 2.1.3.3.2

اطرح $9$ من $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

خطوة 2.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

خطوة 2.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 y^{3} - 27}{4 y^{2} - 9} = lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{\frac{d}{d y} [8 y^{3} - 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{\frac{d}{d y} [8 y^{3} - 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 y^{3} - 27$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [8 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 27]$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{\frac{d}{d y} [8 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

خطوة 2.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [8 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $8 y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $8 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \cdot 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

خطوة 2.3.3.3

اضرب $3$ في $8$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 27$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2} + 0}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

خطوة 2.3.5

أضف $24 y^{2}$ و $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 y^{2} - 9$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{\frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]}}$

خطوة 2.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [4 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $4 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $4 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{4 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]}}$

خطوة 2.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{4 \cdot 2 y + \frac{d}{d y} [- 9]}}$

خطوة 2.3.7.3

اضرب $2$ في $4$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{8 y + \frac{d}{d y} [- 9]}}$

خطوة 2.3.8

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{8 y + 0}}$

خطوة 2.3.9

أضف $8 y$ و $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{8 y}}$

خطوة 2.4

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

أخرِج العامل $8$ من $24 y^{2}$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \cdot 3 y^{2}}{8 y}}$

خطوة 2.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8 y$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \cdot 3 y^{2}}{8 (y)}}$

خطوة 2.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \cdot 3 y^{2}}{8 y}}$

خطوة 2.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{3 y^{2}}{y}}$

خطوة 2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y^{2}$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{y \cdot 3 y}{y}}$

خطوة 2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{y \cdot 3 y}{y^{1}}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{y \cdot 3 y}{y \cdot 1}}$

خطوة 2.4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{y \cdot 3 y}{y \cdot 1}}$

خطوة 2.4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{3 y}{1}}$

خطوة 2.4.2.2.5

اقسِم $3 y$ على $1$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} 3 y}$

خطوة 3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $y$ .

$\sqrt{3 lim_{y \to \frac{3}{2}} y}$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $y$ بالتعويض عن $y$ بـ $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{3 (\frac{3}{2})}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $3$ و $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 3}{2}}$

خطوة 5.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\sqrt{\frac{9}{2}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{9}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

خطوة 5.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

خطوة 5.5

اضرب $\frac{3}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 5.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $\frac{3}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 5.6.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 5.6.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 5.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 5.6.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.6.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.6.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.6.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 5.6.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

الصيغة العشرية:

$2.12132034 \dots$