حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to π} \frac{5 \cos (x) + 5}{{(x - π)}^{2}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to π} 5 \cos (x) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 5 \cos (x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{5 \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.4

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $π$ .

$\frac{5 \cos (lim_{x \to π} x) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $π$ .

$\frac{5 \cos (π) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{5 (- \cos (0)) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.3

اضرب $5 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.3.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.2

أضف $- 5$ و $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

انقُل الأُس $2$ من ${(x - π)}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.3

احسِب قيمة حد $π$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $π$ .

$\frac{0}{{(π - π)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اطرح $π$ من $π$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to π} \frac{5 \cos (x) + 5}{{(x - π)}^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x) + 5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x) + 5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 \cos (x) + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{5 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

خطوة 1.3.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{5 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $- 1$ في $5$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x) + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

خطوة 1.3.5

أضف $- 5 \sin (x)$ و $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

خطوة 1.3.6

أعِد كتابة ${(x - π)}^{2}$ بالصيغة $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}$

خطوة 1.3.7

وسّع $(x - π) (x - π)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}$

خطوة 1.3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}$

خطوة 1.3.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}$

خطوة 1.3.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}$

خطوة 1.3.8.1.2

اضرب $- π (- π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}$

خطوة 1.3.8.1.2.2

اضرب $π$ في $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}$

خطوة 1.3.8.1.2.3

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}$

خطوة 1.3.8.1.2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}$

خطوة 1.3.8.1.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}$

خطوة 1.3.8.1.2.6

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}$

خطوة 1.3.8.2

اطرح $π x$ من $x (- π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.2.1

انقُل $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}$

خطوة 1.3.8.2.2

اطرح $π x$ من $- π x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}$

خطوة 1.3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

خطوة 1.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

خطوة 1.3.11

بما أن $- 2 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

خطوة 1.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

خطوة 1.3.13

اضرب $- 2$ في $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

خطوة 1.3.14

بما أن $π^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $π^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π + 0}$

خطوة 1.3.15

أضف $2 x - 2 π$ و $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π}$

خطوة 2

انقُل الحد $- 5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{2 x - 2 π}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$- 5 \frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- 5 \frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $π$ .

$- 5 \frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

خطوة 3.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- 5 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

خطوة 3.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- 5 \frac{0}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $π$ .

$- 5 \frac{0}{lim_{x \to π} 2 x - lim_{x \to π} 2 π}$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 5 \frac{0}{2 lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} 2 π}$

خطوة 3.1.3.1.3

احسِب قيمة حد $2 π$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $π$ .

$- 5 \frac{0}{2 lim_{x \to π} x - 2 π}$

خطوة 3.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $π$ .

$- 5 \frac{0}{2 π - 2 π}$

خطوة 3.1.3.3

اطرح $2 π$ من $2 π$ .

$- 5 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- 5 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- 5 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.2

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{2 x - 2 π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 2 π$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

خطوة 3.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

خطوة 3.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

خطوة 3.3.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

خطوة 3.3.5

بما أن $- 2 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 + 0}$

خطوة 3.3.6

أضف $2$ و $0$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π} \cos (x)$

خطوة 4.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- 5 (\frac{1}{2}) \cos (lim_{x \to π} x)$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $π$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) \cos (π)$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} \cos (π)$

خطوة 6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{2} \cos (π)$

خطوة 6.3

$- \frac{5}{2} (- \cos (0))$

خطوة 6.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{5}{2} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{5}{2} \cdot - 1$

خطوة 6.6

اضرب $- \frac{5}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{5}{2})$

خطوة 6.6.2

اضرب $\frac{5}{2}$ في $1$ .

$\frac{5}{2}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5}{2}$

الصيغة العشرية:

$2.5$