حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln ({(x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

خطوة 1.1.2

عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\ln ({(x)}^{2})$ بلا حدود.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

خطوة 1.1.3

بما أن الأُس $\frac{1}{x}$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{\frac{1}{x}}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.5

اجمع $\frac{2}{x^{2}}$ و $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 1.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 1.3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 1.3.8

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

خطوة 1.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})}$

خطوة 1.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})}$

خطوة 1.3.10.2

اجمع $e^{\frac{1}{x}}$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{x} (- \frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}})$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{2}{x}$ في $\frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{x e^{\frac{1}{x}}}$

خطوة 1.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

خطوة 1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x e^{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x (e^{\frac{1}{x}})}$

خطوة 1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

خطوة 1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

خطوة 2.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$

خطوة 3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$ يقترب من $0$ .

$- 2 \cdot 0$

خطوة 4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$0$