حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

خطوة 1.1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

خطوة 1.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

خطوة 1.1.2.1.4

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\ln (1 + {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

خطوة 1.1.2.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

خطوة 1.1.2.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

خطوة 1.1.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.7

اجمع $2$ و $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{1 + x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.8

اجمع $\frac{2}{1 + x^{2}}$ و $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ في $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

خطوة 1.6

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

خطوة 1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

أخرِج العامل $x$ من $(x^{2} + 1) (3 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

خطوة 1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

خطوة 1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{(x^{2} + 1) (3 x)}$

خطوة 2

بما أن البسط موجب والقاسم $(x^{2} + 1) (3 x)$ يقترب من الصفر وأكبر من الصفر لـ $x$ بالقرب من $0$ على اليمين، تتزايد الدالة بلا حدود.

$\infty$