حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اضرب $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ في $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اضرب $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ في $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل $\sqrt{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (\sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.3

ارفع $\sqrt{1 + t}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.4

ارفع $\sqrt{1 + t}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} {\sqrt{1 + t}}^{1})} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{1 + 1}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{2}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.7

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + t}}^{2}$ بالصيغة $1 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + t}$ في صورة ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{1}} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.1.2.7.5

بسّط.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t}$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{1}{t}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1 + t}{1 + t}$

خطوة 2.3

اضرب $\frac{1}{t}$ في $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1 + t}{t (1 + t)}$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{1 + t} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + t}$ في صورة ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة $1 + t$ بالصيغة ${({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{t (1 + t)}$

خطوة 2.5.3

لنفترض أن $u = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u - u^{2}}{t (1 + t)}$

خطوة 2.5.4

أخرِج العامل $u$ من $u - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u^{1} - u^{2}}{t (1 + t)}$

خطوة 2.5.4.2

أخرِج العامل $u$ من $u^{1}$ .

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{t (1 + t)}$

خطوة 2.5.4.3

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{t (1 + t)}$

خطوة 2.5.4.4

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$\frac{u (1 - u)}{t (1 + t)}$

خطوة 2.5.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{t (1 + t)}$

خطوة 2.6

انقُل ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t (1 + t) {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 2.7

اضرب $1 + t$ في ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

انقُل ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (1 + t))}$

خطوة 2.7.2

اضرب ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ في $1 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

ارفع $1 + t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + t)}^{1})}$

خطوة 2.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

خطوة 2.7.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

خطوة 2.7.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

خطوة 2.7.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$