حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 1} (\frac{1}{1 - x}) - (\frac{1}{1 - x^{3}})$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لكتابة $\frac{1}{1 - x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}} - (\frac{1}{1 - x^{3}})$

خطوة 1.2

لكتابة $- (\frac{1}{1 - x^{3}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}} - (\frac{1}{1 - x^{3}}) \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

خطوة 1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(1 - x) (1 - x^{3})$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{1}{1 - x}$ في $\frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - (\frac{1}{1 - x^{3}}) \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

خطوة 1.3.2

اضرب $\frac{1}{1 - x^{3}}$ في $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - \frac{1 - x}{(1 - x^{3}) (1 - x)}$

خطوة 1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(1 - x^{3}) (1 - x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - \frac{1 - x}{(1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3} - (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x^{3} - (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة حد $1 - x^{3} - (1 - x)$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1 - 1^{3} - (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1 - (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2.1.2.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1 - (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2.1.2.2.4

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{1 - 1 - 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2.1.2.2.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2.1.2.3

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2.1.2.4

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

خطوة 2.1.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

خطوة 2.1.3.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

خطوة 2.1.3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{3})}$

خطوة 2.1.3.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - lim_{x \to 1} x^{3})}$

خطوة 2.1.3.6

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - 1^{3})}$

خطوة 2.1.3.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.8.1

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1^{3})}$

خطوة 2.1.3.8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.8.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

خطوة 2.1.3.8.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

خطوة 2.1.3.8.3

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.8.4

اضرب $0$ في $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.8.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.9

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3} - (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{3})} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{3} - (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{3} - (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{3} - (1 - x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.4.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (1 - x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (1 - x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [1 - x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.5.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.5.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.5.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 - 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.5.7

اطرح $1$ من $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - - 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.5.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} + 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.6

اطرح $3 x^{2}$ من $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 - x$ و $g (x) = 1 - x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x^{3}] + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 2.3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 2.3.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 2.3.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) \frac{d}{d x} [- x^{3}] + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 2.3.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 2.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- (3 x^{2})) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 2.3.13

اضرب $3$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 2.3.14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

خطوة 2.3.15

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

خطوة 2.3.16

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 2.3.17

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (- \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 2.3.18

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (- 1 \cdot 1)}$

خطوة 2.3.19

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \cdot - 1}$

خطوة 2.3.20

انقُل $- 1$ إلى يسار $1 - x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) - 1 \cdot (1 - x^{3})}$

خطوة 2.3.21

أعِد كتابة $- 1 (1 - x^{3})$ بالصيغة $- (1 - x^{3})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) - (1 - x^{3})}$

خطوة 2.3.22

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.22.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{1 (- 3 x^{2}) - x (- 3 x^{2}) - (1 - x^{3})}$

خطوة 2.3.22.2

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{1 (- 3 x^{2}) - x (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.22.3.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} - x (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x \cdot x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3.3

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.22.3.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 (x^{2} x) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3.3.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.22.3.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{2 + 1} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 - - x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 + 1 x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3.6

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 + x^{3}}$

خطوة 2.3.22.3.7

أضف $3 x^{3}$ و $x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 4 x^{3} - 1}$

خطوة 2.3.22.4

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

خطوة 3

بما أن الدالة تقترب بمقدار $\infty$ من جهة اليسار وبمقدار $- \infty$ من جهة اليمين، إذن لا توجد نهاية.

$لا يوجد$