حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - x^{2}}{x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} - x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} - 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 - 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.1.2

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{0 - 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 2 x^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $4$ من $x^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 2 x^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 2 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{4} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{4} - 2 \cdot 0^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{4} - 2 \cdot 0^{3} - 0^{2}}$

خطوة 1.1.3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3} - 0^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0 - 0^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.1.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 - 0^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 + 0 - 0}$

خطوة 1.1.3.7.1.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

خطوة 1.1.3.7.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.1.3.7.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.7.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.8

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - x^{2}}{x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{x} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.3.4

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} x - 2 x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x - 2 x + e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

خطوة 1.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

خطوة 1.3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

خطوة 1.3.8.3

اضرب $3$ في $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

خطوة 1.3.9

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} - (2 x)}$

خطوة 1.3.9.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x}$

خطوة 2

بما أن الدالة تقترب بمقدار $\infty$ من جهة اليسار وبمقدار $- \infty$ من جهة اليمين، إذن لا توجد نهاية.

$لا يوجد$