حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

خطوة 1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

خطوة 2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

خطوة 3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

خطوة 4

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

خطوة 5

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

خطوة 6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

خطوة 7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

خطوة 8

انقُل الأُس $2$ من $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

خطوة 9

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

خطوة 10

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

خطوة 11

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\sin (\frac{2 π}{x})$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

خطوة 12

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\sin (\frac{2 π}{x})$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار تساوي $0$ .

$0$

خطوة 13

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

خطوة 14

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\sin (\frac{2 π}{x})$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

خطوة 15

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\sin (\frac{2 π}{x})$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين تساوي $0$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

خطوة 16

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

خطوة 16.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

خطوة 16.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

خطوة 16.4

أضف $0$ و $0$ .

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

خطوة 16.5

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

خطوة 16.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

خطوة 16.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.7.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 \cdot (1 - 0)$

خطوة 16.7.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 \cdot (1 + 0)$

خطوة 16.8

أضف $1$ و $0$ .

$0 \cdot 1$

خطوة 16.9

اضرب $0$ في $1$ .

$0$