حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 2} \frac{3 x - 6}{\sqrt{3 x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - 6}{lim_{x \to 2} \sqrt{3 x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} \sqrt{3 x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.2.1.2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} \sqrt{3 x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $6$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} \sqrt{3 x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} \sqrt{3 x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} \sqrt{3 x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 2} \sqrt{3 x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $6$ من $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{3 x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{3 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 3 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.3.1.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.3.1.4

احسِب قيمة حد $\sqrt{6}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{6} - \sqrt{6}}$

خطوة 1.1.3.3.2

اطرح $\sqrt{6}$ من $\sqrt{6}$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x - 6}{\sqrt{3 x} - \sqrt{6}} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.5

أضف $3$ و $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{3 x} - \sqrt{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 x}$ في صورة ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.2

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.4

بما أن $3^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 2} \frac{3}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 2} \frac{3}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.12

اجمع $3^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.7.13

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}$

خطوة 1.3.8

بما أن $- \sqrt{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \sqrt{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

خطوة 1.3.9

أضف $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 2} 3 \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.5

حوّل الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} 3 \frac{2 \sqrt{x}}{3^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة $3^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{3}$ .

$lim_{x \to 2} 3 \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$

خطوة 1.6

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اجمع $3$ و $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 (2 \sqrt{x})}{\sqrt{3}}$

خطوة 1.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $\frac{6}{\sqrt{3}}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{6}{\sqrt{3}} lim_{x \to 2} \sqrt{x}$

خطوة 2.2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{6}{\sqrt{3}} \sqrt{lim_{x \to 2} x}$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{6}{\sqrt{3}} \sqrt{2}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{6}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $\frac{6}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 \sqrt{3}}{3^{1}} \sqrt{2}$

خطوة 4.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{6 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2}$

خطوة 4.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3} \sqrt{2}$

خطوة 4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)} \sqrt{2}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} \sqrt{2}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1} \sqrt{2}$

خطوة 4.3.2.4

اقسِم $2 \sqrt{3}$ على $1$ .

$2 \sqrt{3} \sqrt{2}$

خطوة 4.4

اضرب $2 \sqrt{3} \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$2 \sqrt{2 \cdot 3}$

خطوة 4.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$2 \sqrt{6}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$2 \sqrt{6}$

الصيغة العشرية:

$4.89897948 \dots$