حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لكتابة $\frac{1}{\sqrt{4}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

خطوة 1.2

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

خطوة 1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $\sqrt{4} \cdot 2$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{4}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

خطوة 1.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

خطوة 1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $\sqrt{4} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{4}} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

خطوة 1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

خطوة 2

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}} \cdot \frac{1}{x - 4}$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}$ في $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

احسِب قيمة حد $2 - \sqrt{4}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

خطوة 3.1.2.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

خطوة 3.1.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

خطوة 3.1.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

خطوة 3.1.2.2.2

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل الحد $2 \sqrt{4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 3.1.3.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

خطوة 3.1.3.1.3

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

خطوة 3.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (4 - 1 \cdot 4)}$

خطوة 3.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{2^{2}} (4 - 1 \cdot 4)}$

خطوة 3.1.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{0}{2 \cdot 2 (4 - 1 \cdot 4)}$

خطوة 3.1.3.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{0}{4 (4 - 1 \cdot 4)}$

خطوة 3.1.3.3.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{0}{4 (4 - 4)}$

خطوة 3.1.3.3.5

اطرح $4$ من $4$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

خطوة 3.1.3.3.6

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.1.3.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{2^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

خطوة 3.3.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

خطوة 3.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 1 \cdot 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

خطوة 3.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

خطوة 3.3.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

خطوة 3.3.6.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + 0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

خطوة 3.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

خطوة 3.3.8

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2^{2}} (x - 4)]}$

خطوة 3.3.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x - 4)]}$

خطوة 3.3.10

اضرب $2$ في $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [4 (x - 4)]}$

خطوة 3.3.11

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 (x - 4)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x - 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 3.3.12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

خطوة 3.3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

خطوة 3.3.14

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + 0)}$

خطوة 3.3.15

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.3.16

اضرب $4$ في $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4}$

خطوة 3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 (0)}{4}$

خطوة 3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{1}$

خطوة 3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$lim_{x \to 4} 0$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $0$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$0$