حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\cos (π x + 1)}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \cos (π x + 1)$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\cos (π x + 1)] - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = π x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $π x + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π x + 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $π x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π + 0)) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.6

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 3.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- π x \sin (π x + 1) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- π x \sin (π x + 1)$ .

$\frac{- (π x \sin (π x + 1)) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \cos (π x + 1)$ .

$\frac{- (π x \sin (π x + 1)) - (\cos (π x + 1))}{x^{2}}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (π x \sin (π x + 1)) - (\cos (π x + 1))$ .

$\frac{- (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))}{x^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $- (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))$ بالصيغة $- 1 (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))$ .

$\frac{- 1 (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))}{x^{2}}$

خطوة 4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1)}{x^{2}}$