حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${\cos (3 x)}^{\sin (3 x)}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${\cos (3 x)}^{\sin (3 x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({\cos (3 x)}^{\sin (3 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (3 x)}^{\sin (3 x)})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({\cos (3 x)}^{\sin (3 x)})$ بنقل $\sin (3 x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \sin (3 x) \ln (\cos (3 x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (3 x)$ و $g (x) = \ln (\cos (3 x))$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))] + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (3 x)$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (3 x)$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\frac{1}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 5

حوّل من $\frac{1}{\cos (3 x)}$ إلى $\sec (3 x)$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $3 x$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 6.2

مشتق $\cos (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $- \sin (u_{3})$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \sec (3 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $3 x$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \sec (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 7

ارفع $\sin (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- (\sin^{1} (3 x) \sin (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 8

ارفع $\sin (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- (\sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أضف $1$ و $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 10.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- \sin^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 10.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 10.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x) \cdot 1) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 10.5

اضرب $- 3$ في $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $3 x$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

خطوة 11.2

مشتق $\sin (u_{4})$ بالنسبة إلى $u_{4}$ يساوي $\cos (u_{4})$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

خطوة 11.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $3 x$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

خطوة 12

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 12.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x) (3 \cdot 1))$

خطوة 12.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x) \cdot 3)$

خطوة 12.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (\cos (3 x)) \cos (3 x)$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + 3 \cdot (\ln (\cos (3 x)) \cos (3 x)))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x))) + e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (3 \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x))$

خطوة 13.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))}$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + 3 e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x)$

خطوة 13.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \sin^{2} (3 x) \sec (3 x) + 3 e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \cos (3 x) \ln (\cos (3 x))$