حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين ${\displaystyle (1,\sqrt{{\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1^2})}$ و${\displaystyle (1,0)}$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، ${\displaystyle \mathrm{arcsec}\left(\frac{u}{2}\right)}$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر ${\displaystyle (1,\sqrt{{\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1^2})}$. إذن، ${\displaystyle \cot \left(\mathrm{arcsec}\left(\frac{u}{2}\right)\right)}$ تساوي ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1}}}$.

استخدِم ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ لكتابة ${\displaystyle \sqrt{{\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1}}$ في صورة ${\displaystyle {({\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1)}^{\frac{1}{2}}}$.

أعِد كتابة ${\displaystyle \frac{1}{{({\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1)}^{\frac{1}{2}}}}$ بالصيغة ${\displaystyle {\left({({\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}}$.

اضرب الأُسس في ${\displaystyle {\left({({\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}}$.

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة ${\displaystyle u_1}$ لتصبح ${\displaystyle {\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{d{u}_1}\left[{u_1}^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{u_1}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=-\frac{1}{2}}$.

استبدِل كافة حالات حدوث ${\displaystyle u_1}$ بـ ${\displaystyle {\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1}$.

اضرب ${\displaystyle -1}$ في ${\displaystyle 2}$.

اطرح ${\displaystyle 2}$ من ${\displaystyle -1}$.

انقُل السالب أمام الكسر.

اجمع الكسور.

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${\displaystyle {\left(\frac{u}{2}\right)}^2-1}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle u}$ هو ${\displaystyle \frac{d}{du}\left[{\left(\frac{u}{2}\right)}^2\right]+\frac{d}{du}[-1]}$.

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة ${\displaystyle u_2}$ لتصبح ${\displaystyle \frac{u}{2}}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{d{u}_2}\left[{u_2}^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{u_2}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=2}$.

استبدِل كافة حالات حدوث ${\displaystyle u_2}$ بـ ${\displaystyle \frac{u}{2}}$.

اجمع ${\displaystyle 2}$ و${\displaystyle \frac{u}{2}}$.

ألغِ العامل المشترك لـ ${\displaystyle 2}$.

بما أن ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle u}$، إذن مشتق ${\displaystyle \frac{u}{2}}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle u}$ يساوي ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{du}\left[u\right]}$.

اجمع ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ و${\displaystyle u}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{du}\left[u^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{u}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=1}$.

اضرب ${\displaystyle \frac{u}{2}}$ في ${\displaystyle 1}$.

بما أن ${\displaystyle -1}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle u}$، فإن مشتق ${\displaystyle -1}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle u}$ هو ${\displaystyle 0}$.

اجمع الكسور.

طبّق قاعدة الضرب على ${\displaystyle \frac{u}{2}}$.

ارفع ${\displaystyle 2}$ إلى القوة ${\displaystyle 2}$.