حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$

خطوة 2

أعِد كتابة $\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

خطوة 3

اكتب $\sin (t)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}]$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم $\sin (t)$ على $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

خطوة 4.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (2 t)}$ إلى $\csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \csc (2 t)]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = \csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)] + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \csc (t)$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

خطوة 6.2

مشتق $\csc (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \csc (u) \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

خطوة 7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \cdot 1) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

خطوة 7.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

خطوة 8

مشتق $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\cos (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t))) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\sin (t)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (t)}{2} (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{2} (\csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2.3

اجمع $\csc (2 t)$ و $\frac{- 2 \sin (t)}{2}$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2} \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2.4

اجمع $\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2}$ و $\cot (2 t)$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 (1)} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)}{1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2.5.2.4

اقسِم $\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)$ على $1$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

خطوة 9.2.6

اجمع $\csc (2 t)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t)}{2} \cos (t)$

خطوة 9.2.7

اجمع $\frac{\csc (2 t)}{2}$ و $\cos (t)$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- \cot (2 t) \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أعِد كتابة $\cot (2 t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.2

أعِد كتابة $\csc (2 t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.3

اضرب $- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.3.1

اضرب $\frac{1}{\sin (2 t)}$ في $\frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.3.2

ارفع $\sin (2 t)$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.3.3

ارفع $\sin (2 t)$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin^{1} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{\cos (2 t)}{{\sin (2 t)}^{1 + 1}} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.4

اجمع $\sin (t)$ و $\frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)}$ .

$- \frac{\sin (t) \cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.5

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.6.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t) \cos (t))}^{2}} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.6.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.6.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t))}^{2} \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.6.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sin (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{2^{2} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.6.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.7.1

أخرِج العامل $\sin (t)$ من $4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 \cos^{2} (t) - 1}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.8

طبّق متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.9

أعِد كتابة $\csc (2 t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{\sin (2 t)} \cos (t)}{2}$

خطوة 9.4.10

اجمع $\frac{1}{\sin (2 t)}$ و $\cos (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{\sin (2 t)}}{2}$

خطوة 9.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.11.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

خطوة 9.4.11.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.11.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

خطوة 9.4.11.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{2 \sin (t)}}{2}$

خطوة 9.4.12

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 9.4.13

اضرب $\frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.13.1

اضرب $\frac{1}{2 \sin (t)}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t) \cdot 2}$

خطوة 9.4.13.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

افصِل الكسور.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} \cdot \frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.2

أعِد كتابة $\frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}$ في صورة حاصل ضرب.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.3

اكتب $\cos (2 t)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\frac{\cos (2 t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.4.1

اقسِم $\cos (2 t)$ على $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.4.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (t)}$ إلى $\csc (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.5

اضرب في $1$ .

$- (\frac{1}{4 (\cos^{2} (t) \cdot 1)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.6

افصِل الكسور.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.7

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ إلى $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.8

اضرب $4$ في $1$ .

$- (\frac{1}{4} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.9

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.10

اضرب $\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.10.1

اجمع $\cos (2 t)$ و $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ .

$- (\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4} \csc (t)) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.10.2

اجمع $\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4}$ و $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

خطوة 9.5.11

افصِل الكسور.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

خطوة 9.5.12

حوّل من $\frac{1}{\sin (t)}$ إلى $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \csc (t)$

خطوة 9.5.13

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{\csc (t)}{4}$