حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1000}{2 t + 6} - \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1000}{2 t + 6} - \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{1000}{2 t + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1000}{2 t + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{1000}{2 t + 6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احذِف العامل المشترك لـ $1000$ و $2 t + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $1000$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 t + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t) + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t) + 2 (3)}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (t) + 2 (3)$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t + 3)}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t + 3)}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d}{d t} [\frac{500}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.2

بما أن $500$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{500}{t + 3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{1}{t + 3}$ بالصيغة ${(t + 3)}^{- 1}$ .

$500 \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = t + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $t + 3$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $t + 3$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $0$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 2.10

اضرب $- 1$ في $500$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 2000$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 2000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(2 t + 6)}^{2}}]$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{{(2 t + 6)}^{2}}$ بالصيغة ${({(2 t + 6)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 \frac{d}{d t} [{({(2 t + 6)}^{2})}^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = {(2 t + 6)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح ${(2 t + 6)}^{2}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(2 t + 6)}^{2}])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(2 t + 6)}^{2}])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${(2 t + 6)}^{2}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(2 t + 6)}^{2}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = 2 t + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $2 t + 6$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [2 t + 6]))$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [2 t + 6]))$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $2 t + 6$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) \frac{d}{d t} [2 t + 6]))$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t + 6$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [6])))$

خطوة 3.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6])))$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6])))$

خطوة 3.8

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + 0)))$

خطوة 3.9

اضرب الأُسس في ${({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{2 \cdot - 2} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + 0)))$

خطوة 3.9.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + 0)))$

خطوة 3.10

اضرب $2$ في $1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (2 (2 t + 6) (2 + 0)))$

خطوة 3.11

أضف $2$ و $0$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (2 (2 t + 6) \cdot 2))$

خطوة 3.12

اضرب $2$ في $2$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (4 (2 t + 6)))$

خطوة 3.13

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 {(2 t + 6)}^{- 4} (2 t + 6))$

خطوة 3.14

ارفع $2 t + 6$ إلى القوة $1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 ({(2 t + 6)}^{1} {(2 t + 6)}^{- 4}))$

خطوة 3.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 {(2 t + 6)}^{1 - 4})$

خطوة 3.16

اطرح $4$ من $1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 {(2 t + 6)}^{- 3})$

خطوة 3.17

اضرب $- 4$ في $- 2000$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} + 8000 {(2 t + 6)}^{- 3}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 500 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 {(2 t + 6)}^{- 3}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 500 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 \frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $- 500$ و $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 500}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 \frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$

خطوة 4.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 \frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$

خطوة 4.3.3

اجمع $8000$ و $\frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 t + 6)}^{3}}$

خطوة 4.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 (t) + 6)}^{3}}$

خطوة 4.4.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 t + 2 \cdot 3)}^{3}}$

خطوة 4.4.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 t + 2 \cdot 3$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 (t + 3))}^{3}}$

خطوة 4.4.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (t + 3)$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{2^{3} {(t + 3)}^{3}}$

خطوة 4.4.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{8 {(t + 3)}^{3}}$

خطوة 4.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $8000$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8000$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8 \cdot 1000}{8 {(t + 3)}^{3}}$

خطوة 4.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8 {(t + 3)}^{3}$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8 \cdot 1000}{8 ({(t + 3)}^{3})}$

خطوة 4.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8 \cdot 1000}{8 {(t + 3)}^{3}}$

خطوة 4.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{1000}{{(t + 3)}^{3}}$