حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ بالنسبة إلى $a$ هو $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ هو $f' (g (a)) g' (a)$ حيث $f (a) = a^{4}$ و $g (a) = a + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $a + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $a + b$ .

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a + b$ بالنسبة إلى $a$ هو $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ هو $n a^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.2.4

بما أن $b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، فإن مشتق $b$ بالنسبة إلى $a$ هو $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.2.5

أضف $1$ و $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.2.6

اضرب $4$ في $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، إذن مشتق $- {(a - b)}^{4}$ بالنسبة إلى $a$ يساوي $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ هو $f' (g (a)) g' (a)$ حيث $f (a) = a^{4}$ و $g (a) = a - b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a - b$ بالنسبة إلى $a$ هو $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ هو $n a^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

خطوة 1.3.5

بما أن $- b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، فإن مشتق $- b$ بالنسبة إلى $a$ هو $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

خطوة 1.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

خطوة 1.3.7

اضرب $4$ في $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

خطوة 1.3.8

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 {(a + b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

خطوة 1.4.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 {(a - b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

خطوة 1.4.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ .

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

خطوة 1.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

خطوة 1.4.2.2

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

خطوة 1.4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

خطوة 1.4.2.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

خطوة 1.4.2.3.3

طبّق قاعدة الضرب على $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

خطوة 1.4.2.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

خطوة 1.4.2.3.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

خطوة 1.4.2.3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

خطوة 1.4.2.3.7

طبّق قاعدة الضرب على $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

خطوة 1.4.2.3.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

خطوة 1.4.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

خطوة 1.4.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.5.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

خطوة 1.4.2.5.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

خطوة 1.4.2.5.3

اضرب $- - b^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

خطوة 1.4.2.5.3.2

اضرب $b^{3}$ في $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

خطوة 1.4.2.6

احذِف الأقواس.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

خطوة 1.4.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اطرح $a^{3}$ من $a^{3}$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

خطوة 1.4.3.2

أضف $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ و $0$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

خطوة 1.4.3.3

اطرح $3 a b^{2}$ من $3 a b^{2}$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

خطوة 1.4.3.4

أضف $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ و $0$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

خطوة 1.4.4

أضف $3 a^{2} b$ و $3 a^{2} b$ .

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

خطوة 1.4.5

أضف $b^{3}$ و $b^{3}$ .

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

خطوة 1.4.6

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

خطوة 1.4.7

اضرب $2$ في $4$ .

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

خطوة 1.4.8

اضرب $6$ في $4$ .

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ بالنسبة إلى $a$ هو $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

خطوة 2.1.2

بما أن $8 b^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، فإن مشتق $8 b^{3}$ بالنسبة إلى $a$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $24 b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، إذن مشتق $24 a^{2} b$ بالنسبة إلى $a$ يساوي $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ هو $n a^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 24 b (2 a)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $24$ .

$0 + 48 b a$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $0$ و $48 b a$ .

$48 b a$

خطوة 2.3.2

أعِد ترتيب عوامل $48 b a$ .

$f'' (a) = 48 a b$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $48 b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، إذن مشتق $48 a b$ بالنسبة إلى $a$ يساوي $48 b \frac{d}{d a} [a]$ .

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ هو $n a^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$48 b \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $48$ في $1$ .

$f''' (a) = 48 b$

خطوة 4

بما أن $48 b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، فإن مشتق $48 b$ بالنسبة إلى $a$ هو $0$ .

$f^{4} (a) = 0$