حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{8} 15 + 4^{i - 1}$

خطوة 1

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{8} 15 + 4^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{8} 15 + \sum_{k = 1}^{8} 4^{i - 1}$

خطوة 2

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{8} 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 2.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(15) (8)$

خطوة 2.3

اضرب $15$ في $8$ .

$120$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{8} 4^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 3.2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{4^{i + 1 - 1}}{4^{i - 1}}$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $4^{i + 1 - 1}$ و $4^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

أخرِج العامل $4^{i - 1}$ من $4^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1}}$

خطوة 3.2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 3.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 3.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{4^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

خطوة 3.2.2.1.2.4

اقسِم $4^{i + 0 - (i - 1)}$ على $1$ .

$r = 4^{i + 0 - (i - 1)}$

خطوة 3.2.2.2

أضف $i$ و $0$ .

$r = 4^{i - (i - 1)}$

خطوة 3.2.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 4^{i - i - - 1}$

خطوة 3.2.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = 4^{i - i + 1}$

خطوة 3.2.2.4

اطرح $i$ من $i$ .

$r = 4^{0 + 1}$

خطوة 3.2.2.5

أضف $0$ و $1$ .

$r = 4^{1}$

خطوة 3.2.2.6

احسِب قيمة الأُس.

$r = 4$

خطوة 3.3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في $4^{i - 1}$ .

$a = 4^{1 - 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = 4^{0}$

خطوة 3.3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 1$

خطوة 3.4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$1 \frac{1 - 4^{8}}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $\frac{1 - 4^{8}}{1 - 1 \cdot 4}$ في $1$ .

$\frac{1 - 4^{8}}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 3.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $8$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 65536}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 1$ في $65536$ .

$\frac{1 - 65536}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 3.5.2.3

اطرح $65536$ من $1$ .

$\frac{- 65535}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 3.5.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{- 65535}{1 - 4}$

خطوة 3.5.3.2

اطرح $4$ من $1$ .

$\frac{- 65535}{- 3}$

خطوة 3.5.4

اقسِم $- 65535$ على $- 3$ .

$21845$

خطوة 4

أضف نتائج المجاميع.

$120 + 21845$

خطوة 5

أضف $120$ و $21845$ .

$21965$