حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{25} 2^{i} - 2^{i - 1}$

خطوة 1

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{25} 2^{i} - 2^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{25} 2^{i} + \sum_{k = 1}^{25} - 2^{i - 1}$

خطوة 2

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{25} 2^{i}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2.2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2^{i + 1}$ و $2^{i}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $2^{i}$ من $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{2}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$r = 2$

خطوة 2.3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

خطوة 2.3.2

احسِب قيمة الأُس.

$a = 2$

خطوة 2.4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$2 \frac{1 - 2^{25}}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $25$ .

$2 \frac{1 - 1 \cdot 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $- 1$ في $33554432$ .

$2 \frac{1 - 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 2.5.1.3

اطرح $33554432$ من $1$ .

$2 \frac{- 33554431}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 2.5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 \frac{- 33554431}{1 - 2}$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 (\frac{- 33554431}{- 1})$

خطوة 2.5.3

اقسِم $- 33554431$ على $- 1$ .

$2 \cdot 33554431$

خطوة 2.5.4

اضرب $2$ في $33554431$ .

$67108862$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{25} - 2^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خطوة 3.2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{- 2^{i + 1 - 1}}{- 2^{i - 1}}$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

خطوة 3.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2^{i + 1 - 1}$ و $2^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2^{i - 1}$ من $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

خطوة 3.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 3.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 3.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

خطوة 3.2.2.2.2.4

اقسِم $2^{i + 0 - (i - 1)}$ على $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

خطوة 3.2.2.3

أضف $i$ و $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

خطوة 3.2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 2^{i - i - - 1}$

خطوة 3.2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

خطوة 3.2.2.5

اطرح $i$ من $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

خطوة 3.2.2.6

أضف $0$ و $1$ .

$r = 2^{1}$

خطوة 3.2.2.7

احسِب قيمة الأُس.

$r = 2$

خطوة 3.3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في $- 2^{i - 1}$ .

$a = - 2^{1 - 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = - 2^{0}$

خطوة 3.3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = - 1 \cdot 1$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$a = - 1$

خطوة 3.4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$- \frac{1 - 2^{25}}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $25$ .

$- \frac{1 - 1 \cdot 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $- 1$ في $33554432$ .

$- \frac{1 - 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.3

اطرح $33554432$ من $1$ .

$- \frac{- 33554431}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 3.5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{- 33554431}{1 - 2}$

خطوة 3.5.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \frac{- 33554431}{- 1}$

خطوة 3.5.3

اقسِم $- 33554431$ على $- 1$ .

$- 1 \cdot 33554431$

خطوة 3.5.4

اضرب $- 1$ في $33554431$ .

$- 33554431$

خطوة 4

أضف نتائج المجاميع.

$67108862 - 33554431$

خطوة 5

اطرح $33554431$ من $67108862$ .

$33554431$