حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{20} {(i + 1)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(i + 1)}^{2}$ بالصيغة $(i + 1) (i + 1)$ .

$(i + 1) (i + 1)$

خطوة 1.2

وسّع $(i + 1) (i + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$i (i + 1) + 1 (i + 1)$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$i \cdot i + i \cdot 1 + 1 (i + 1)$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$i \cdot i + i \cdot 1 + 1 i + 1 \cdot 1$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $i$ في $i$ .

$i^{2} + i \cdot 1 + 1 i + 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $i$ في $1$ .

$i^{2} + i + 1 i + 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $i$ في $1$ .

$i^{2} + i + i + 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$i^{2} + i + i + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $i$ و $i$ .

$i^{2} + 2 i + 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} + 2 i + 1$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} + 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} + 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

خطوة 3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $2$ في $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2.2

أضف $20$ و $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $10$ في $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2.4

أضف $40$ و $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

خطوة 3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $210$ في $41$ .

$\frac{8610}{3}$

خطوة 3.3.3.2

اقسِم $8610$ على $3$ .

$2870$

خطوة 4

احسِب قيمة $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $20$ و $1$ .

$2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $20$ في $21$ .

$2 (\frac{420}{2})$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{420}{2})$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$420$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(1) (20)$

خطوة 5.3

اضرب $20$ في $1$ .

$20$

خطوة 6

أضف نتائج المجاميع.

$2870 + 420 + 20$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $2870$ و $420$ .

$3290 + 20$

خطوة 7.2

أضف $3290$ و $20$ .

$3310$