حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{0}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1}$

خطوة 1

قسّم المجموع لتجعل قيمة البداية لـ $i$ تساوي $1$ .

$\sum_{0}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} = \sum_{i = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} + \sum_{i = 0}^{0} 4^{i} - 4^{i - 1}$

خطوة 2

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{30} 4^{i} + \sum_{k = 1}^{30} - 4^{i - 1}$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{30} 4^{i}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2.2.2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{4^{i + 1}}{4^{i}}$

خطوة 2.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4^{i + 1}$ و $4^{i}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

أخرِج العامل $4^{i}$ من $4^{i + 1}$ .

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i}}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{4}{1}$

خطوة 2.2.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$r = 4$

خطوة 2.2.3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في $4^{i}$ .

$a = 4^{1}$

خطوة 2.2.3.2

احسِب قيمة الأُس.

$a = 4$

خطوة 2.2.4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$4 \frac{1 - 4^{30}}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $30$ .

$4 \frac{1 - 1 \cdot 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 2.2.5.1.2

اضرب $- 1$ في $1152921504606850000$ .

$4 \frac{1 - 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 2.2.5.1.3

اطرح $1152921504606850000$ من $1$ .

$4 \frac{- 1152921504606849999}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 2.2.5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 \frac{- 1152921504606849999}{1 - 4}$

خطوة 2.2.5.2.2

اطرح $4$ من $1$ .

$4 (\frac{- 1152921504606849999}{- 3})$

خطوة 2.2.5.3

اقسِم $- 1152921504606849999$ على $- 3$ .

$4 \cdot 384307168202283333$

خطوة 2.2.5.4

اضرب $4$ في $384307168202283333$ .

$1537228672809133332$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{30} - 4^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

خطوة 2.3.2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{- 4^{i + 1 - 1}}{- 4^{i - 1}}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$r = \frac{4^{i + 1 - 1}}{4^{i - 1}}$

خطوة 2.3.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4^{i + 1 - 1}$ و $4^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $4^{i - 1}$ من $4^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1}}$

خطوة 2.3.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.3.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.3.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{4^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

خطوة 2.3.2.2.2.2.4

اقسِم $4^{i + 0 - (i - 1)}$ على $1$ .

$r = 4^{i + 0 - (i - 1)}$

خطوة 2.3.2.2.3

أضف $i$ و $0$ .

$r = 4^{i - (i - 1)}$

خطوة 2.3.2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 4^{i - i - - 1}$

خطوة 2.3.2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = 4^{i - i + 1}$

خطوة 2.3.2.2.5

اطرح $i$ من $i$ .

$r = 4^{0 + 1}$

خطوة 2.3.2.2.6

أضف $0$ و $1$ .

$r = 4^{1}$

خطوة 2.3.2.2.7

احسِب قيمة الأُس.

$r = 4$

خطوة 2.3.3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في $- 4^{i - 1}$ .

$a = - 4^{1 - 1}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = - 4^{0}$

خطوة 2.3.3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$a = - 1$

خطوة 2.3.4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$- \frac{1 - 4^{30}}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $30$ .

$- \frac{1 - 1 \cdot 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 2.3.5.1.2

اضرب $- 1$ في $1152921504606850000$ .

$- \frac{1 - 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 2.3.5.1.3

اطرح $1152921504606850000$ من $1$ .

$- \frac{- 1152921504606849999}{1 - 1 \cdot 4}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- \frac{- 1152921504606849999}{1 - 4}$

خطوة 2.3.5.2.2

اطرح $4$ من $1$ .

$- \frac{- 1152921504606849999}{- 3}$

خطوة 2.3.5.3

اقسِم $- 1152921504606849999$ على $- 3$ .

$- 1 \cdot 384307168202283333$

خطوة 2.3.5.4

اضرب $- 1$ في $384307168202283333$ .

$- 384307168202283333$

خطوة 2.4

أضف نتائج المجاميع.

$1537228672809133332 - 384307168202283333$

خطوة 2.5

اطرح $384307168202283333$ من $1537228672809133332$ .

$1152921504606849999$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{i = 0}^{0} 4^{i} - 4^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وسّع السلسلة لكل قيمة من قيم $i$ .

$4^{0} - 4^{0 - 1}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $0$ .

$1 - 4^{0 - 1}$

خطوة 3.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$1 - 4^{- 1}$

خطوة 3.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $- 1$ .

$1 - 1 \cdot 0.25$

خطوة 3.2.4

اضرب $- 1$ في $0.25$ .

$1 - 0.25$

خطوة 3.2.5

اطرح $0.25$ من $1$ .

$0.75$

خطوة 4

استبدِل المجاميع بالقيم التي تم إيجادها.

$1152921504606849999 + 0.75$

خطوة 5

أضف $1152921504606849999$ و $0.75$ .

$1152921504606849999.75$