حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k - 6}{4}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 k - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 k$ .

$\frac{3 (k) - 6}{4}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$\frac{3 k + 3 \cdot - 2}{4}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 k + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{3 (k - 2)}{4}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 (k - 2)}{4}$

خطوة 2

قسّم المجموع لتجعل قيمة البداية لـ $k$ تساوي $1$ .

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} - \sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} + \sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج $\frac{3}{4}$ من المجموع.

$(\frac{3}{4}) \sum_{k = 1}^{31} k$

خطوة 3.2.2

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 3.2.3

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(\frac{3}{4}) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

خطوة 3.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1.1

أضف $31$ و $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{31 \cdot 32}{2}$

خطوة 3.2.4.1.2

اضرب $31$ في $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{992}{2}$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $992$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 (248)}{2}$

خطوة 3.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 \cdot 248}{2}$

خطوة 3.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{248}{2})$

خطوة 3.2.4.3

اجمع $3$ و $\frac{248}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 248}{2}$

خطوة 3.2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.4.1

اضرب $3$ في $248$ .

$\frac{744}{2}$

خطوة 3.2.4.4.2

اقسِم $744$ على $2$ .

$372$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 3.3.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(- \frac{3}{2}) (31)$

خطوة 3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $(- \frac{3}{2}) (31)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

اضرب $31$ في $- 1$ .

$- 31 (\frac{3}{2})$

خطوة 3.3.3.1.2

اجمع $- 31$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 31 \cdot 3}{2}$

خطوة 3.3.3.1.3

اضرب $- 31$ في $3$ .

$\frac{- 93}{2}$

خطوة 3.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{93}{2}$

خطوة 3.4

أضف نتائج المجاميع.

$372 - \frac{93}{2}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لكتابة $372$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$372 \cdot \frac{2}{2} - \frac{93}{2}$

خطوة 3.5.2

اجمع $372$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{372 \cdot 2}{2} - \frac{93}{2}$

خطوة 3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{372 \cdot 2 - 93}{2}$

خطوة 3.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اضرب $372$ في $2$ .

$\frac{744 - 93}{2}$

خطوة 3.5.4.2

اطرح $93$ من $744$ .

$\frac{651}{2}$

خطوة 4

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وسّع السلسلة لكل قيمة من قيم $k$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} + \dots + \frac{3 \cdot 5}{4} - \frac{3}{2}$

خطوة 4.2

بسّط الصيغة الموسّعة.

$\frac{15}{4}$

خطوة 5

استبدِل المجاميع بالقيم التي تم إيجادها.

$\frac{651}{2} - \frac{15}{4}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لكتابة $\frac{651}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{651}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

خطوة 6.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $\frac{651}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{651 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{651 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

خطوة 6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{651 \cdot 2 - 15}{4}$

خطوة 6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $651$ في $2$ .

$\frac{1302 - 15}{4}$

خطوة 6.4.2

اطرح $15$ من $1302$ .

$\frac{1287}{4}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1287}{4}$

الصيغة العشرية:

$321.75$

صيغة العدد الذي به كسر:

$321 \frac{3}{4}$