حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.5

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.6

اضرب $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.6.1

اجمع $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ و $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.6.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.6.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.4

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $\cos^{2} (x)$ و $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.2.1

اضرب في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.5.2.4

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

خطوة 4.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\cos (0)$

خطوة 6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$1$