حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{4 \sin (x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2.3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2.4

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2.6.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2.6.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 1.3.1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{4 \sin (0)}$

خطوة 1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

خطوة 1.3.3.2

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{4 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.4.9

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

خطوة 3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 3.6

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{4 \cos (x)}$

خطوة 4

انقُل الحد $\frac{1}{4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (x)}$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 7

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 8

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 9

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 10

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 11

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 11.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (0)}$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + e^{0}}{\cos (0)}$

خطوة 12.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1}{\cos (0)}$

خطوة 12.1.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\cos (0)}$

خطوة 12.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1}$

خطوة 12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2}{1}$

خطوة 12.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{1}$

خطوة 12.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2}$