حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 y^{4}}{y^{5} + 1} d y$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{y^{4}}{y^{5} + 1} d y$

خطوة 2

أعِد كتابة $y^{5}$ بالصيغة ${(y^{5})}^{1}$ .

$2 \int \frac{y^{4}}{{(y^{5})}^{1} + 1} d y$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = y^{5}$ . إذن $d u_{1} = 5 y^{4} d y$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{1} = y^{4} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = y^{5}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $y^{5}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 y^{4}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{5} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط.

$2 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{5} d u_{1}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{u_{1} + 1}$ في $\frac{1}{5}$ .

$2 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 5} d u_{1}$

خطوة 4.3

انقُل $5$ إلى يسار $u_{1} + 1$ .

$2 \int \frac{1}{5 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1})$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{5}$ و $2$ .

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{2} = u_{1} + 1$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{2} = u_{1} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u_{1} + 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{5} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 9

بسّط.

$\frac{2}{5} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $u_{1} + 1$ .

$\frac{2}{5} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{5}$ .

$\frac{2}{5} \ln (| y^{5} + 1 |) + C$