حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{10 z^{4} - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $10$ من $10 z^{4} - 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $10$ من $10 z^{4}$ .

$\int \frac{10 (z^{4}) - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $10$ من $- 20$ .

$\int \frac{10 z^{4} + 10 \cdot - 2}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $10$ من $10 z^{4} + 10 \cdot - 2$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $z$ من $z^{5} - 10 z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $z$ من $z^{5}$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} - 10 z}} d z$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $z$ من $- 10 z$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} + z \cdot - 10}} d z$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $z$ من $z \cdot z^{4} + z \cdot - 10$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

خطوة 2

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$10 \int \frac{z^{4} - 2}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

خطوة 3

لنفترض أن $u = z (z^{4} - 10)$ . إذن $d u = (5 z^{4} - 10) d z$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = (z^{4} - 2) d z$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = z (z^{4} - 10)$ . أوجِد $\frac{d u}{d z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $z (z^{4} - 10)$ .

$\frac{d}{d z} [z (z^{4} - 10)]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ هو $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ حيث $f (z) = z$ و $g (z) = z^{4} - 10$ .

$z \frac{d}{d z} [z^{4} - 10] + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z^{4} - 10$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]$ .

$z (\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$z (4 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

خطوة 3.1.3.3

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $- 10$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$z (4 z^{3} + 0) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

خطوة 3.1.3.4

أضف $4 z^{3}$ و $0$ .

$z (4 z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

خطوة 3.1.4

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$4 (z^{1} z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

خطوة 3.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 z^{1 + 3} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

خطوة 3.1.6

أضف $1$ و $3$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

خطوة 3.1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \cdot 1$

خطوة 3.1.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.8.1

اضرب $z^{4} - 10$ في $1$ .

$4 z^{4} + z^{4} - 10$

خطوة 3.1.8.2

أضف $4 z^{4}$ و $z^{4}$ .

$5 z^{4} - 10$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{5} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{5}$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 5} d u$

خطوة 4.2

انقُل $5$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$10 \int \frac{1}{5 \sqrt{u}} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $10$ .

$\frac{10}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 6.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 6.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 6.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 6.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $z (z^{4} - 10)$ .

$4 {(z (z^{4} - 10))}^{\frac{1}{2}} + C$