حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \ln ({(x)}^{8}) \cdot \frac{1}{x} d x$

خطوة 1

اجمع $\ln ({(x)}^{8})$ و $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{\ln (x^{8})}{x} d x$

خطوة 2

أعِد كتابة $\frac{\ln (x^{8})}{x}$ بالصيغة $\frac{8 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{8 \ln (x)}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$8 \int u d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $8 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ بالصيغة $8 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$8 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} u^{2} + C$

خطوة 6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} u^{2} + C$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} u^{2} + C$

خطوة 6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

خطوة 6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} u^{2} + C$

خطوة 6.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 u^{2} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$4 \ln^{2} (x) + C$