حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{2 y} - \frac{2}{y^{2}} + \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{2 y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 6.2

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 6.3

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 6.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 2} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 9

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

خطوة 9.2

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

خطوة 9.3

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

خطوة 9.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

خطوة 9.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 (2 y^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 3 (2 y^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 11.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11.2.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$