حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{\frac{- y}{2}} d y$

خطوة 1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{3 y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 6

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - (5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 7.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 7.3

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 7.4

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 7.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 7.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{- \frac{1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

خطوة 9

لنفترض أن $u = - \frac{y}{2}$ . إذن $d u = - \frac{1}{2} d y$ ، لذا $- 2 d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = - \frac{y}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

خطوة 9.1.2

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- \frac{y}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 10.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

خطوة 10.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \cdot 2 d u$

خطوة 10.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 2 e^{u} d u$

خطوة 11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u$

خطوة 12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (e^{u} + C)$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{u} + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{y}{2}} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} \ln (| y |) - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{1}{2} y} + C$