حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 e^{2 y} - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = 2 y$ . إذن $d u_{1} = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = 2 y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 3.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$2 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 4

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 6.3

اضرب $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ في $1$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 7

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

خطوة 8

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{- 2 y} d y$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = - 2 y$ . إذن $d u_{2} = - 2 d y$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = - 2 y$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 9.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 10.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{u_{1}} + C - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

خطوة 12

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$e^{u_{1}} + C + 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{u_{1}} + C + 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 14.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{u_{1}} + C + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 14.3

اضرب $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$e^{u_{1}} + C + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 15

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{1}} + C + e^{u_{2}} + C$

خطوة 16

بسّط.

$e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 y$ .

$e^{2 y} + e^{u_{2}} + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 2 y$ .

$e^{2 y} + e^{- 2 y} + C$