حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 \cos (7 x) - \sin (\frac{x}{2}) - π d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = 7 x$ . إذن $d u_{1} = 7 d x$ ، لذا $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = 7 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $7$ في $1$ .

$7$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$2 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

خطوة 4

اجمع $\cos (u_{1})$ و $\frac{1}{7}$ .

$2 \int \frac{\cos (u_{1})}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{7}$ و $2$ .

$\frac{2}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

خطوة 7

تكامل $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\sin (u_{1})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = \frac{x}{2}$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 9.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int - π d x$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2} + \int - π d x$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \cdot 2 d u_{2} + \int - π d x$

خطوة 10.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

خطوة 11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int - π d x$

خطوة 12

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 \int \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

خطوة 13

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) + \int - π d x$

خطوة 14

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) - π x + C$

خطوة 15

بسّط.

$\frac{2 \sin (u_{1})}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $7 x$ .

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (\frac{x}{2}) - π x + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2}{7} \sin (7 x) + 2 \cos (\frac{1}{2} x) - π x + C$