حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{3} (x^{2} - 4)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3} (x^{2} - 4)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{2} - 4$ .

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.3.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 (x^{3} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.3.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$3 (x^{3} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.4

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

انقُل $x$ .

$3 (x \cdot x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.4.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$3 (x^{1} x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 (x^{1 + 3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.4.3

أضف $1$ و $3$ .

$3 (x^{4} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.5

انقُل $2$ إلى يسار $x^{4}$ .

$3 (2 \cdot x^{4} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (2 x^{4} + (x^{2} - 4) (3 x^{2}))$

خطوة 1.7

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2} - 4$ .

$3 (2 x^{4} + 3 \cdot (x^{2} - 4) x^{2})$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 x^{4} + (3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2})$

خطوة 1.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 4 x^{2})$

خطوة 1.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 x^{4}) + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

خطوة 1.8.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.1

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

خطوة 1.8.4.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 3 (3 (x^{2} x^{2})) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

خطوة 1.8.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2 + 2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

خطوة 1.8.4.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{4}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

خطوة 1.8.4.3

اضرب $3$ في $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

خطوة 1.8.4.4

اضرب $3$ في $- 4$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (- 12 x^{2})$

خطوة 1.8.4.5

اضرب $- 12$ في $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 36 x^{2}$

خطوة 1.8.4.6

أضف $6 x^{4}$ و $9 x^{4}$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 36 x^{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 x^{4} - 36 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $4$ في $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$60 x^{3} - 36 (2 x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 36$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 72 x$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $60 x^{3} - 72 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $60$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $60 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $60$ .

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 72 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$180 x^{2} - 72 \cdot 1$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 72$ في $1$ .

$f''' (x) = 180 x^{2} - 72$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $180 x^{2} - 72$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $180$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $180 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$180 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72]$

خطوة 4.2.3

اضرب $2$ في $180$ .

$360 x + \frac{d}{d x} [- 72]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 72$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$360 x + 0$

خطوة 4.3.2

أضف $360 x$ و $0$ .

$f^{4} (x) = 360 x$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $360 x$ .

$360 x$