حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

خطوة 1.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 1.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

خطوة 1.4.2.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 1.4.2.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.2.7

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 4 \sin (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \cos (x)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 \sin (2 x) - 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$- 4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$- 4 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.2.7

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 4.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 8 \cos (2 x) - 2 (- \sin (x))$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 \cos (2 x) + 2 \sin (x)$